極座標と直交座標の変換（方向余弦） (3/3)

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今回は直交座標（方向余弦）を極座標（赤経・赤緯等）に変換する方法です。

　　xp = r * cos(δ) * cos(α)
　　yp = r * cos(δ) * sin(α)
　　zp = r * sin(δ)

という関係があります（方向余弦の場合は r=1 です）

ので最後の式から

　　δ = asin(zp/r)

となります。Nとδの範囲は

　　-1 ≦ N ≦ 1
　　-π/2 ≦ δ ≦ π/2

でありNとδは一対一で対応していますからこれで問題ありません。

一方αの方は注意が必要です。

二番目の式を最初の式で割ると

　　M/L　= sin(α) / cos(α)

ですから

　　α = atan(yp/xp)

となるのですが

　　-1 ≦ xp ≦ 1
　　-1 ≦ yp ≦ 1

ですのでxpとypの値は（符号が）違うのにαの値は同じになってしまうことがあります。

赤経のように 0 ≦ α < 2π であれば

　　xp ≧ 0、yp ≧ 0 のとき α = atan(yp/xp)
　　xp < 0 のとき α = atan(yp/xp) + π
　　xp ≧ 0、 yp < 0 のとき α = atan(yp/xp) + π*2

のようなことになります。

こういうときはatan2を使えば少し簡単になります。

　　yp ≧ 0 のとき α = atan2(xp,yp)
　　yp < 0 のとき α= atan2(xp,yp) + π*2

（経度のように）-π ≦ α ≦ πで表記してもよければatan2を使う場合は

　　α = atan2(xp,yp)

だけで済みます。

またいずれの場合もゼロ割りを避けるため

　　 xp=0、yp > 0 のとき α = π/2
　　 xp=0、yp < 0 のとき α = -π/2

とする必要があります。

xp=0、yp=0のときはαは意味を持ちませんので上のどちらかに含めてかまいません。