「内積」というもの

幾何的には内積は次のように定義されます。

　　ａ・ｂ = |ａ||ｂ|cosθ　（θはａとｂがなす角の角度）　　(1)

意味は非常にわかりやすいです。

　　ａのｂ方向の成分とｂの大きさの積（ｂのａ方向の成分とaの大きさの積）が内積である

ということを言っています。

意味はわかりやすいのですが、ａとｂが成分で表示されているときどうやって計算したらいいかよくわかりません (^^;;

一方代数的には次のように定義されます。

　　ａ・ｂ = ax * bx + ay * by + cx * cy　　(2)

こっちは計算は簡単です。小学生でもできます。ただこの式が具体的に何を意味しているのか一見わかりづらいです。

だから内積は意味は幾何的に考え、計算は代数的に行う、というようなことになります。上の二つが同じ値になることはとうぜん証明が必要です。

証明は余弦定理を使うことが多いようです。ただ証明ができて(1)と(2)が等値であることが納得できても(2)の意味が理解できたと自信をもって言えないのがつらいです (^^;;

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(1)から内積はａとｂが直行していれば0になることが、また同一方向であればａとｂの大きさの積になることが明らかです。

ａもｂも互いに直交する三つのベクトルの和として表されます。三つのベクトルの方向が座標軸あるときのそれぞれの大きさが(2)にあるax,ay,azでありbx,by,bzであるわけです。

それぞれの方向の大きさ1のベクトル＝単位ベクトルをｉ,ｊ,ｋとすると

　　ａ = ax * ｉ + ay * ｊ + az　* ｋ
　　ｂ = bx * ｉ + by * ｊ + bz　* ｋ

と表されます。

ここでａの要素 ax * ｉ とｂの内積を考えます。ｉとｊ、ｉとｋは直行しているのでax * ｉと by * ｊ、bz　* ｋの内積は0になります。ｉとは同じ方向なのでax * ｉとbx * ｉの内積は ax * bx となります。

同じように考えるとけっきょく

　　ａ・ｂ = ax * bx + ay * by + cx * cy

になるはずです。たぶんこれが(2)のいちばん理解しやすい考え方だと思います。

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上の考え方をするとき内積では分配則などが成り立つことを前提にしています。そしてそれには（(1)を前提にしていますから幾何的な）証明が必要です。だからこういう考え方をしても証明自体が簡単になるわけではありません。