コルピッツ発振回路の発振条件 - LCだけでは決まらない発振周波数(3)

コルピッツ発振回路を作るのにオペアンプを使う方はそうそういらっしゃらないような気がしますがCMOSインバータを使う方法はけっこうポピュラーなのではないでしょうか。


今回考えるのはR2の影響です。

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前回と同じくこの回路をもとにして調べます。

このR2なんですがESRが0の理想的なインダクタ、コンデンサを使った場合はじつは発振条件にも発振周波数にも無関係です。つまりR2は（0Ωでない限り）どんな抵抗値でもかまわないということになります。

このR2がゼロだとダメな理由とかどう影響するかということは、以前は金沢大学の先生の回路解析があるからそれを見てください、とリンクで済ませていたのですが昨日確認したら参照できなくなっていました。
幸いなことにedyさんが
　　「迷走の果て・Tiny Objects - LCR回路の伝達関数を求める 」
　　「迷走の果て・Tiny Objects - LCR回路の伝達関数を求める(2)」
　　「迷走の果て・Tiny Objects - LCR回路の伝達関数を求める(3)：そろそろ限界かも・・・。」
　　「迷走の果て・Tiny Objects - LCR回路の伝達関数を求める(4)：これでおしまい(多分）」
　　「迷走の果て・Tiny Objects - LCR回路の伝達関数を求める：まとめ（１）」
に解析結果を書かれていますので参考にしていただければと思います。

上の回路と同じ条件で計算された例もあります。
　　「迷走の果て・Tiny Objects - LCR回路の伝達関数を求める：maximaで数値計算（１）」
RL=100Ωのケースですが、幸いなことに同じ結果__22575.7Hz__が出ていました (^^)
　　
記事の末尾にリンクのあるペンシルバニア大のコルピッツ発振回路に関する詳細な資料（こちらはbachさんに教えていただきました）も参考になると思いますが、一見R2に相当するものがない（つまりR2=0）ように見えます。こちらの方の増幅器はオペアンプではなくトランジスタを使っており、R2に相当するものはRです。出力はRの負荷を持つ電流源なのでRの内部抵抗を持つ電圧源と考えれば上の回路と同じことになります（上の回路のR3（資料のｒπ）は極めて大きいとして省略してあります）
発振周波数は ω=√((C1+C2)/(C1C2L)) となっており、これはいいとして、発振条件の方がgmR > C2/C1 となっていますがgmRというのは増幅率ですのでC2=C1だとすれば 増幅率 > 1 が発振条件ということになります。

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R2=1、100、10k、100kΩのときの発振条件を前記事と同じ方法で求めてみました。


ご覧のとおり発振周波数も必要増幅率もまったくかわりません。
（よく見るとR2=1Ωのときの発振周波数がちょっと高くなっていますが、これはオペアンプの入力抵抗が無限大になっていないことの影響です。オペアンプの入力抵抗が無限大でないのはC4がESRを持つのと等価です似た状態です）

R2の大きさが発振条件に影響しないのは並列共振回路のインピーダンスが共振周波数で無限大になるからです。無限大と比べれば1Ωも100kΩも同じようなものですから。

インダクタやコンデンサのESRがゼロでなければ共振回路のインピーダンスは無限大にならないので事情が異なってきます。

インダクタのESRを1Ω、コンデンサのESRを0.1Ωという現実的な値にして再度調べてみます。今度はR2=100、1000、10k、100kΩでやっています。




R2が小さくなると必要とされる増幅率は理論値の（というかESRがゼロのときの）1に近くなりますが、周波数がLC並列共振周波数から離れます。

一方R2が大きくなると発振周波数は共振周波数に近づくのですが、必要とされる増幅率が大きくなってしまいます。

コンデンサのESRが0.1μF、20kHzで0.1ΩというのはFPPフィルムコンデンサ PPSフィルムコンデンサでなんとか実現できる値だと思います。ポリエステルフィルムコンデンサなんかだとESRはもっと大きくなりR2の影響も大きくなると思います。こういう回路にセラミックコンデンサを使ってしまうのは私くらいだと思いますが、そしたら悲惨なことになりました (^^;;

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最初のCMOSインバータを使ったような回路でR2を小さくしないと発振しないケースは発振周波数がLCの共振周波数からずれている可能性があるので私みたいに発振周波数からインダクタンスやキャパシタンスを求めようとするような場合は注意が必要ということになります（極端な例ですが発振周波数からインダクタンスを求めようとしたら測定値が実際の値の1/2だったということがありました）

またCMOSインバータの場合増幅率は一定ですからR2を小さくしすぎた場合必要以上の増幅率になり周波数がさらに高くなったり波形が汚くなるようにも思えます（これは想像です。さすがにExcelではこういう非線形のはムリ（困難？）です。以前過渡現象のときにやったようにExcelでも微分方程式を数値的に解くという方法はありますが）

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　　　　このあたりの記事がこんな“研究”始めた原因＝発振周波数から計算したリアクタンスが実際と違っていた＝です。

参考
　　「University of Pennsylvania - Practical Colpitts Oscillator Circuit」
　　　　　（bachさんに教えていただきました）
　　「迷走の果て・Tiny Objects - LCR回路の伝達関数を求める 」
　　「迷走の果て・Tiny Objects - LCR回路の伝達関数を求める(2)」
　　「迷走の果て・Tiny Objects - LCR回路の伝達関数を求める(3)：そろそろ限界かも・・・。」
　　「迷走の果て・Tiny Objects - LCR回路の伝達関数を求める(4)：これでおしまい(多分）」