水を注いだコップの中のコインは真上に浮き上がって見えるのか？

水を注いだコップの中のコインの見かけの位置について書いた記事をググってみたらなかなかおもしろいことになっています。

比較的多そうなのがこれです。

　　例
　　「【光の屈折】コインが浮かび上がって見える作図問題の解き方」
　　「中学理科のまとめ - 光」

Aから出た光は水面で屈折してBの方へ向かう。Bから見ると水面から出た光が来た方向つまり点線の方向に見えるのでA'のところに見える。

と書かれたものがけっこうあります。

点線の方向に見えるのは確かでしょうが、このことだけからAの真上であるA'の位置に見えるということは言えないように思います。

感覚的にどう見えるかということであれば、これが実感に近いかもしれません。
でも感覚的に....という話を始めてしまうと、もうそれは理科ではないような....

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単に点線の方向に見えるということであれば例えば向こう側に浮き上がって見えるということでも問題ないはずです。
ただし、このように見えると書かれたものはまだ見たことありません。
（「検定教科書における｢思い違い(誤解、誤謬)｣ －コップに沈めたコインの見え方－」によればこの“説”を採用した教科書もあったそうです）

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あるいはこのように手前に浮き上がって見えるということでもいいはずです。

　　例
　　「【中学中間・期末試験問題集（過去問）・理科1年】」 （理由はなし）
　　「検定教科書における｢思い違い(誤解、誤謬)｣ －コップに沈めたコインの見え方－」
　　　　（理由は書いてあるのですが、これでみんな納得するのかなあ、という気はします）

後者はタイトルからもわかるように教科書がでたらめだとお怒りです。2003年に書かれたものですが、その後どうなったんでしょう。気になります。

どれが正しいかまじめに考えてみました。

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Aから出る光線の向きが∠Aだけわずかに変化したとします。

水面で屈折して出射した光の経路を延長したらA'で交わったとします。光源の見かけの位置はA'にあるということになります。
もし∠A'が∠Aと等しければ（方向は違うものの）同じ距離にあるように見え、∠A'が∠Aより小さければA'はAより遠くに、∠A'が∠Aより大きければ近くに見えることになります。

角度がじゅうぶん小さければ水面から光源（AあるいはA'）までの距離は角度に反比例し

となります。

以下の手順でA'の位置を求めることができます。

これをもとに実際に計算した結果を図にしてみました。

手前に浮き上がって見えるというのが正解のようです。

上の結果は微分を使わなくても導くことができますが、簡単に結果を導こうとするとθが小さいときsinθ=θ、cosθ=1というのを使うのでけっきょく微分を使っているのと同じことかも....
もちろん微分・近似を使わなくても結果は出せます。それは別の記事に書くつもりです。

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参考

　　「水深2mのプールの見かけの水深は？ 屈折と光線追跡」
　　「水を注いだコップの中のコインは真上に浮き上がって見えるのか？」 （この記事）

　　簡易分光器 - 作り方・使い方のまとめとリンク集