太陽の赤経・赤緯・地心距離をExcelで求める（海洋情報部の計算式） 2018年版

海上保安庁・海洋情報部の計算式とデータを利用して太陽と月、主要な惑星の視位置を求める2018年版のExcelシートを作成しました（2013年1月1日～2018年12月31日の範囲で利用できます）

　　「ダウンロード Excel_Sun_Moon_Planets_2018.xlsx (314.9K)」

この方法は精度が高いかわりに使える期間が限定されます。長期間に渡って使える近似式が必要な方は

　　「海上保安庁水路部の略算式 - 月の位置の略算(1) 黄経」

から始まる一連の記事を御覧ください。

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以前きなこさんから御指摘があった月の視位置の計算で地心距離の計算方法が間違っているという点については2018年版では修正済です。

　　参考　　　　「月の視位置計算で地心距離の計算に誤りが.....」
　　　　　　　　　「このブログの変更履歴・正誤表など」


　　以下のものが含まれています。
　　・太陽の視位置（海洋情報部の計算式）
　　・月の視位置（海洋情報部の計算式）
　　・月の観測値から見た視位置（海洋情報部の計算式＋α）
　　・主要な惑星の視位置（海洋情報部の計算式）
　　・恒星の星表位置から視位置を求めるシート
　　　（有効数字8桁程度の精度があります）
　　・度分秒と小数の度の相互変換

なおおまけの“恒星位置計算”シートは2016年版（及びそれ以前）には視線速度がゼロでないときの固有運動の計算（「恒星の視位置に対する固有運動と視線速度の影響」）と年周視差の計算（単位はmasなので1000で割らなければならないのをそのまま使っていました）に誤りがありましたので2017年版以後では修正しました。

計算結果と「国立天文台 - 暦計算室 - 暦象年表」との比較

関連

　　「太陽の赤経・赤緯・地心距離をExcelで求める（海洋情報部の計算式） 2017年版」
　　「月の赤経・赤緯・地心距離をExcelで求める（海洋情報部の計算式） 2017年版」
     （Excelシートは同じものです）
　　「惑星(金星・火星・木星・土星)の赤経・赤緯・地心距離をExcelで求める（海洋情報部の計算式） 2017年版」
　　 （太陽、月、恒星の視位置の計算シートも含まれていますが、それらの暦象年表との視位置の比較は含まれていません）

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　　「太陽の赤経・赤緯・地心距離をExcelで求める（海洋情報部の計算式） 2016年版」
　　「月の赤経・赤緯・地心距離をExcelで求める（海洋情報部の計算式） 2016年版」

　　「恒星の位置計算 - ヒッパルコス星表の使い方から大気差の計算式まで」

　　「記事目次・趣味の天文計算」
　　「記事目次・掩蔽（星食）」

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海上保安庁水路部の惑星位置の略算式 - 天王星の視赤経・赤緯

水路部の略算式には2系統あると書いたのですが、細かく書くと次のようになります（長沢工「天体の位置計算」地人書館、1981 によります。太字はすでに記事を書いたものです）

　　　　A-1. 太陽　（天測暦 昭和53年版）
　　　　A-2. 月　（天測暦 昭和55年版）
　　　　A-3. 金星・火星・木星・土星（天測暦 昭和54年版）

　　　　B-1. 水星　（水路部研究報告 No.15 1980）
　　　　B-2. 天王星・海王星・冥王星　（昭和54年度経緯度研究会集録）

今回はB-2にある略算式で天王星の（日心）黄経・黄緯を求めそれから視位置（視赤経・視赤緯）を算出してみます。

この記事に相当するExcelファイルは

　　「ダウンロード PlanetsUranus_LonLatDist_20170714A.xlsx (147.8K)」

からダウンロードできます。

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天王星の略算式は係数がすべてラジアンになっています。ですからそのまま計算したあと度に変換することになります。

ラジアンなのでこれまでと比べると小さめの係数が並びます。

（動径(r)の係数は途中で切れています）

計算式を同じ形にするため（＝Excelで計算式を生成するため）どの項も4つの係数から計算する形にしてあります。

海上保安庁水路部の略算式 - 水星の視位置（視赤経・視赤緯）

これまでの流れでタイトルを「海上保安庁水路部の...」としましたが、じつはちょっと違います。
前回書いた火星をはじめ金星、木星、土星は略算式が「天測暦」に掲載されていたようです。一方今回の水星をはじめ天王星、海王星、冥王星は水路部で研究されたものには間違いないのでしょうが論文として発表されているそうです。
このことは長沢工「天体の位置計算」地人書館、1981に書いてあったのですが、これによると水星位置の略算式は「水路部研究報告 No,15（1980）の久保良雄氏の論文から採ったもので....」とのことです。

これはどこかで書きましたが、火星他の惑星の位置略算式が天測暦に掲載されるのはこれらが明るく目立つ惑星で天測の対象になるからです。

それに対し水星他の惑星は（見えるときでも）どこにあるのか探すのに一苦労するような惑星で、天測の対象にするのは難しいので参考資料として論文という形で発表されたのでしょう。

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水星（と天王星、海王星、冥王星）の位置略算式も火星なんかの略算式に似ているのですが、細かい違いがいくつかあります。結果がちゃんと出るまでけっこう手間取りました。
これまで同様Excelがダウンロードできます。

　　「ダウンロード PlanetsMercury_LonLatDist_20170714A.xlsx (124.1K)」

やり方は火星と同じでまず略算式で日心座標（黄経・黄緯）を求めそれを地心座標に変換し、最後に視位置（視赤経・視赤緯）を算出します。

日心座標をもとめ地心座標に変換するところです。

海上保安庁水路部の惑星位置の略算式 - 火星の視赤経・赤緯

前記事

　　「海上保安庁水路部の惑星位置の略算式 - 火星の(日心)黄経・黄緯」

では（昔の）海上保安庁水路部の略算式を使って太陽から見た火星の黄経・黄緯を求めました。たいていの場合必要なのは視位置（視赤経・視赤緯）なのでこれらを求めてみました。

具体的な計算手順を詳しく説明するのはたいへんなので計算に使ったExcelファイルをダウンロードできるようにしました。

　　「ダウンロード PlanetsMars_LonLatDist_20170712A.xlsx (102.8K)」

なぜそういう計算になるのか、というのが気になる方はこの記事の最後にある“参考文献”をご覧いただければと思います。簡単な説明だったら

　　「恒星の位置計算 - ヒッパルコス星表の使い方から大気差の計算式まで」

のリンク先にあるものもあります。

おおまかな手順は次のとおりです（括弧の中の英字はその計算をしているExcelのセルの列名です）

　　1. 火星の（日心）黄経・黄緯から（日心）直交座標を求める (L)
　　2. 太陽の（地心）黄経・黄緯から地球の（日心）直交座標を求める (L)
　　3. 地球と火星の（日心）直交座標から火星の（地心）直交座標を求める( L)
　　4. （地心）直交座標を（地心）黄道座標に変換する (M)
　　5. 惑星光行差を補正する (M)
　　6. 火星の（地心）直交座標を視位置に変換する (C)
　　　　（黄道傾斜角だけ座標の回転）

海上保安庁水路部の惑星位置の略算式 - 火星の(日心)黄経・黄緯

(昔の)海上保安庁水路部の略算式で太陽や月の視位置（視赤経、視赤緯）を求めてみたのですが、現在でもじゅうぶん使えることがわかりました。海洋情報部の近似式ほどの精度はありませんが、海洋情報部の近似式のように毎年何度も係数を変えながら計算しなくてはならない面倒臭さはありませんので目的によっては実用的です。

そこでこんどは水路部の略算式で惑星の視位置を求めることをやってみます。水路部の惑星の略算式で直接求まるのは太陽を基準にした黄経・黄緯です。したがってまずこれを地球を基準にした黄経・黄緯に変換し、さらにこれを赤経・赤緯に変換する必要があります。
黄経・黄緯からの赤経・赤緯への変換はすでに太陽と月で行っていますし、太陽中心から地球中心への変換は地球中心から観測地中心への変換と同じことですので手順的には問題なさそうです。

水路部の惑星の略算式は

　　　　金星・火星・木星・土星

と

　　　　水星・天王星・海王星・冥王星

の二系統がありますが、今回は前者から火星を取り上げ、（日心）黄経・黄緯を求めます。係数が金星より多い火星を最初に取り上げるのは「天体の位置計算」に計算例があり検算が容易だからという理由です。検算であればいつものように「（NASA)JPL Horizons Web-Interface」 を使えばよさそうですが、あとで書くように今回はそれが難しいです。

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この記事は次のExcelファイルをベースにしています。

　　「ダウンロード PlanetsMars_LonLatDist_20170711A.xlsx (75.4K)」

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最初に係数を入力します。いつもどおり老眼対策で本の上にスマホを載せて入力しました。

海上保安庁水路部の略算式で求めた月の位置を図にしてみた

数字の羅列だけではイメージがわかないと思うので、これまでの計算結果を図にしてみました（正確に書くと、計算結果を図にして検討する方法を考えてみました）

2017年1月1日 中央標準時21時00分の月の位置を材料にします。水路部の略算式では黄経・黄緯が求まりますが、これを（地心からの）視赤経・視赤緯に変換したものと、さらにそれを元に算出した東京からの視赤経・視赤緯です。またそれぞれの正解は「（NASA)JPL Horizons Web-Interface」 で調べてあります。

これを図にしてみます。

赤が地心からみた月の位置、緑が東京から見た月の位置です（但し月の見かけの大きさは半径0.25度に固定してあります）

このくらいのスケールで見ると「（NASA)JPL Horizons Web-Interface」 のデータとよく一致しています。

Excelファイル（ダウンロード Moon_LonLatDist_20170707A.xlsx (59.3K)）を見るとわかるようにこのときの月は西の空、地平線近くにあります（じつは沈んでしまっていて東京からは見えません。地球が透明で見えるとすれば、みたいな話になっています。そういうのがきらいな方は次の4月1日のデータで考えればいいと思います。地平線に対して対称の位置で見えるところにあります）

いずれにしても水平線近くにありますので上の図でもわかるように視差は大きいです。

海上保安庁水路部の略算式 - 月の位置の略算(3) 観測地から見た赤経・赤緯と方位角・高度

これまでの記事で海上保安庁水路部（現在の海洋情報部）の略算式を使って太陽や月の視位置を求めました。太陽も月も地心から見た黄経（と黄緯）を求めそれから赤経・赤緯を算出しました。

太陽の場合は地心から見ても地球上のどの位置からみてもたいした差はありませんが、月の場合は地球から近いので見る場所によってかなり（＝月の直径くらいのオーダーで）視位置が変化します。

今回は水路部の略算式というテーマからはちょっと離れますが、地心からみた視位置（視赤経、視赤緯、距離）をもとに特定の場所での月の視位置と方位角・高度を求めてみます。
測心座標を求めるためには月までの距離が必要ですが、これも水路部の略算式にあります。

今回も計算の方法を示すExcelファイルを用意しました。

　　 「ダウンロード Moon_LonLatDist_20170705A.xlsx (57.7K)」

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観測地からの視位置や方位角・高度を求めるためには恒星時が必要になります。視恒星時を使うのが正しいやり方ですが、この記事では平均恒星時を使っています。水路部の略算式は海洋情報部の近似式ほどには精度が高くありません。視恒星時を求める手間をかけてもそれほど精度が向上するわけでもないので平均恒星時にしました（視恒星時と平均恒星時は度で小数点以下3桁目が違ってくるくらいです。

月の地心座標を測心座標（観測地を中心とする座標）に変換するところでは視恒星時を使っても平均恒星時を使ってもそれほど差異は出ません。
一方赤経・赤緯を方位角・高度に変換するときは恒星時の誤差がそのまま方位角・高度の誤差になります。ただアマチュアの観測では方位角・高度に高い精度を要求することはないのがふつうだと思います。

視恒星時を求めるは章動の計算も必要でけっこうたいへんです。となると平均恒星時ですませても別に問題ないような気もしてくるのですが、視恒星時を求めて、それを使う方法については

　　「観測地から見た月の視位置（赤経・赤緯）を計算する」

にありますので参考にしていただければと思います。海洋情報部の近似式をもとにした記事（Excelファイル）はすべてこの記事にある視恒星時を使う方法を採っています。

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今回も“答え合わせ”は「（NASA)JPL Horizons Web-Interface」を使わせていただきました。

これまで“Observer Location”を“Geocentric”としていましたが、ここに経度、緯度、標高をセットする（“user defined”）と観測地での視位置を求めることができます。



“QUANTITIES”の2は視赤経・視赤緯、4は方位角・高度です。
それから“Table Settings”にある“refraction model”は“airless model”にしておいた方が最初の段階での答え合わせは楽です。

海上保安庁水路部の略算式 - 月の位置の略算(2) 黄緯と赤経・赤緯

前記事「海上保安庁水路部の略算式 - 月の位置の略算(1) 黄経」 では月の黄経を求めましたので次に黄緯を求めます。黄経・黄緯がわかれば黄道傾斜角を使ってそれを視赤経・視赤緯を求めることができます（この後、月までの距離を求め観測地での月の視赤経・視赤緯を求めるという流れになります）

月の視赤経・視赤緯を求めるまでに必要な係数や計算式は次のExcelファイルにあります。

　　「ダウンロード Moon_LonLatDist_20170628A.xlsx (68.9K)」

黄緯の求め方は前記事に書いた黄経とほとんど同じです。項数は黄経よりは少ないのですが、それでも50項ほどあります。だからセルの計算式を“計算式の作成”のシートで作っているのも同じです。

1979年、1980年、1999年、2017年について1点～4点黄緯を求めてみました。



結果はこれまでと同じく「（NASA)JPL Horizons Web-Interface」と比較します。

黄経と同レベルの精度の値が得られています。

　

海上保安庁水路部の略算式 - 月の位置の略算(1) 黄経

ここのところ海上保安庁(旧)水路部の略算式で太陽の視位置を求めるということをやっていました。

海洋情報部の計算式には精度が及びませんが(旧)水路部の略算式は一つの係数で長期間使えるというメリットがあり用途によっては便利そうです。実際 長沢工「日の出・日の入りの計算」地人書館、1999 では理科年表を使わないで（今風だと、暦象年表を使わないで）太陽や月の位置を知る方法として水路部の略算式を使う方法を紹介しています。

太陽の位置はもう少し検討が必要なところ（「海上保安庁水路部の略算式はいつまで使えるか？ - 太陽の黄経を例に」）がありますが、今回は月の位置の略算式を検討してみます

この記事の内容に相当するExcelファイル

　　「ダウンロード Moon_LonDist_20170626A.xlsx (48.9K)」

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月の位置はやり方は太陽の位置とほとんど変わらないのですが、黄緯も求めなければならず、黄経・黄緯とも太陽とは比較にならないくらい項数が多くてたいへんです。

まず長沢工「天体の位置計算」地人書館 」 あるいは長沢工「日の出・日の入りの計算」地人書」 から係数を拾います。スキャナー＋OCRも考えたのですが、OCRの場合すべての数値を念入りにチェックする必要があるのでそれほどの省力化にはならないだろうということで手入力することにしました。

老眼になると手元の書籍から数値を読み取り画面で入力した数値をチェックするというのを交互に行うのはつらいです。そこで書籍の上にスマホをおいて入力を行いました。眼からの距離がほとんど変化しないので楽に作業できます。スマホの縁が入力位置の確認に使えるし入力ははかどりました。

以下の画像は入力中の様子です。
画面の中に入力ミスが一箇所あります。この画面にある入力誤りを含め黄経を計算するときの係数はチェック・修正済みですが、黄緯の方はまだチェックが終わっていません。少なくとも一箇所は誤りがあるのを確認しています。修正済のものは黄緯に関する記事のときアップロードします。

海上保安庁水路部の略算式はいつまで使えるか？ - 太陽の黄経を例に

今、長沢工「天体の位置計算」地人書館、1981 と長沢工「日の出・日の入りの計算」地人書館、1999 を参考に海上保安庁水路部の略算式で太陽の視位置を求めています。
少なくともに長沢工「日の出・日の入りの計算」地人書館、1999 の略算式に関しては太陽と惑星が1979年の天測暦、月が1980年の天測暦にあったものだそうです。おそらく天測暦には使用上の制約・制限みたいなことが書いてあったのだと思いますが、これらの略算式がいつまで使えるものかがわかりません。

すでに記事にしたように現時点では1980年とくらべそれほど悪くない精度で太陽の位置を求めることができました。ではこれからどのくらい使えるものなのか？

試しに100年先と1000年先の太陽の黄経（とそれから計算した視赤経・視赤緯）を求めてみました。今回の記事の内容は次のExcelファイルの計算結果を元にしています。

　　「ダウンロード Sun_LonDist_20170615A.xlsx (51.8K)」

結果もこれまで通り（NASA)JPL Horizons Web-Interface の推算と比較しています。

結論だけ先に書きます（結論と言っても一年のうち90日ごとに4点でチェックしただけです。何かの目的に使う方はもっと丁寧に検討した方がいいです）

以下では時間が経つにつれ誤差が大きくなりそうだ、ということを書いていますが、これはExcelの計算誤差に原因があるのかもしれません。これについては現在検討中で結果を近々記事に追記する予定です。

100年後

2017年、2018年と比較すると誤差は数倍になっています。1979年と比較すると精度は一桁悪くなっています。
と言っても今回計算した日時での誤差は最大0.004°ですから太陽の直径の1/100以下です。

1,000年後

100年後に比べてさらに精度が一桁悪くなります。つまり誤差は太陽の直径の1/10くらいになります。
ぎりぎり日の出日の入り時刻の予測に使える程度ということになります。

もっとも今後1000年間の地球の自転がどう変化していくかなんて誰にもわからないでしょうから太陽の位置は予測できても日の出日の入りの時刻の予測みたいなのはあんまり意味はなさそうです。

それと章動モデルというのはどの程度正しいのでしょうか。今後の地軸の変化が予測と違ってくれば赤経・赤緯に影響が及びます。 （NASA)JPL Horizons Web-Interface  では太陽の黄経は小数点以下7桁まで表示されているのに、赤経は小数点以下5桁までです。ひょっとしたらこういうことの影響なのかもしれません。